Paradoks Ahila in želve, ki ga je predstavil starogrški filozof Zeno, kljubuje zdravi pameti. Trdi, da atletski tip Ahil ne bo nikoli dohitel nerodne želve, če se bo začela premikati pred njim. Kaj je torej: sofizem (namerna napaka pri dokazovanju) ali paradoks (trditev, ki ima logično razlago)? Poskusimo razumeti ta članek.
Kdo je Zenon?
Zeno se je rodil okoli leta 488 pr.n.št. v Elei (današnja Velia) v Italiji. Več let je živel v Atenah, kjer je vso svojo energijo posvetil razlagi in razvoju Parmenidovega filozofskega sistema. Iz Platonovih spisov je znano, da je bil Zenon 25 let mlajši od Parmenida in je že zelo zgodaj napisal obrambo svojega filozofskega sistema. Čeprav je bilo od njegovih spisov malo rešenega. Večina od nas ve zanj samo iz Aristotelovega spisa in tudi, da je ta filozof, Zenon iz Eleje, znan po svojih filozofskihsklepanje.
Knjiga paradoksov
V petem stoletju pred našim štetjem se je grški filozof Zenon ukvarjal s fenomeni gibanja, prostora in časa. Kako se lahko ljudje, živali in predmeti premikajo, je osnova paradoksa Ahilove želve. Matematik in filozof je napisal štiri paradokse ali "paradokse gibanja", ki so bili vključeni v knjigo, ki jo je napisal Zeno pred 2500 leti. Podprli so Parmenidovo stališče, da je gibanje nemogoče. Upoštevali bomo najbolj znan paradoks - o Ahilu in želvi.
Zgodba je naslednja: Ahil in želva sta se odločila tekmovati v teku. Da bi bilo tekmovanje bolj zanimivo, je bila želva za nekaj razdalje pred Ahilejem, saj je slednji veliko hitrejši od želve. Paradoks je bil, da dokler se je teoretično tek nadaljeval, Ahil nikoli ne bi prehitel želve.
V eni različici paradoksa Zeno trdi, da gibanje ne obstaja. Različic je veliko, Aristotel jih našteva štiri, čeprav jih v bistvu lahko imenujemo variacije dveh paradoksov gibanja. Eden se dotakne časa, drugi pa prostora.
Iz Aristotelove fizike
Iz knjige VI.9 Aristotelove fizike se lahko naučite, da
Na dirki najhitrejši tekač nikoli ne more prehiteti najpočasnejšega, saj mora zasledovalec najprej doseči točko, kjer se je zasledovanje začelo.
Torej, potem ko Ahil teče za nedoločen čas, bo dosegel točkoiz katerega je začela želva. Toda v istem času se bo želva premaknila naprej in dosegla naslednjo točko na svoji poti, tako da mora Ahil še vedno dohiteti želvo. Spet gre naprej in se precej hitro približuje tistemu, kar je želva zasedla, spet "odkrije", da je želva malo priplazila naprej.
Ta postopek se ponavlja, dokler ga želite ponoviti. Ker so dimenzije človeški konstrukt in zato neskončne, nikoli ne bomo dosegli točke, ko Ahil premaga želvo. Prav to je Zenonov paradoks o Ahilu in želvi. Po logičnem sklepanju Ahil nikoli ne bo mogel dohiteti želve. V praksi bo seveda šprinter Ahil tekel mimo počasne želve.
Pomen paradoksa
Opis je bolj zapleten od dejanskega paradoksa. Zato marsikdo pravi: "Ne razumem paradoksa Ahila in želve." Težko je z umom zaznati tisto, kar pravzaprav ni očitno, očitno pa je ravno nasprotno. Vse je zajeto v sami razlagi problema. Zenon dokazuje, da je prostor deljiv, in ker je deljiv, ne moremo doseči določene točke v prostoru, ko se drugi premakne dlje od te točke.
Zeno ob teh pogojih dokazuje, da Ahilej ne more dohiteti želve, saj je prostor lahko neskončno razdeljen na manjše dele, kjer bo želva vedno del prostora spredaj. Omeniti je treba tudi, da je čas gibanje, kotto je naredil Aristotel, se bosta tekača gibala neomejeno in tako bosta mirovala. Izkazalo se je, da ima Zenon prav!
Rešitev paradoksa Ahila in želve
Paradoks kaže neskladje med tem, kako razmišljamo o svetu in tem, kakšen svet dejansko je. Joseph Mazur, zaslužni profesor matematike in avtor knjige Enlightened Symbols, opisuje paradoks kot "trik", zaradi katerega razmišljate o prostoru, času in gibanju na napačen način.
Potem pride naloga, da ugotovimo, kaj točno je narobe z našim razmišljanjem. Gibanje je seveda možno, hitri človeški tekač lahko prehiteva želvo v dirki.
Paradoks Ahila in želve z vidika matematike je naslednji:
- Ob predpostavki, da je želva 100 metrov pred seboj, ko bo Ahil prehodil 100 metrov, bo želva 10 metrov pred njim.
- Ko doseže teh 10 metrov, bo želva 1 meter naprej.
- Ko doseže 1 meter, bo želva 0,1 metra naprej.
- Ko doseže 0,1 metra, bo želva 0,01 metra naprej.
V istem procesu bo Ahil utrpel nešteto porazov. Seveda danes vemo, da je vsota 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … natančno število in določa, kdaj Ahil premaga želvo.
Do neskončnosti, ne dlje
Zmeda, ki jo je ustvaril Zenonov primer, je bila predvsem zaradi neskončnega števila pikopazovanja in položaje, ki jih je moral Ahil najprej doseči, ko se je želva enakomerno premikala. Tako bi bilo skoraj nemogoče, da bi Ahil želvo prehitel, kaj šele, da bi jo prehitel.
Prvič, prostorska razdalja med Ahilom in želvo je vedno manjša. Toda čas, potreben za premagovanje razdalje, se sorazmerno zmanjša. Ustvarjen problem Zenona vodi v širjenje točk gibanja v neskončnost. Toda matematičnega koncepta še ni bilo.
Kot veste, je bilo šele ob koncu 17. stoletja mogoče najti matematično utemeljeno rešitev tega problema v računih. Newton in Leibniz sta se približala neskončnosti s formalnimi matematičnimi pristopi.
Angleški matematik, logik in filozof Bertrand Russell je dejal, da so "…Zenonovi argumenti v takšni ali drugačni obliki zagotovili osnovo za skoraj vse teorije prostora in neskončnosti, predlagane v našem času do danes …"
Je to sofizem ali paradoks?
S filozofskega vidika sta Ahil in želva paradoks. V sklepanju ni protislovij in napak. Vse temelji na postavljanju ciljev. Ahil je imel cilj ne dohiteti in prehiteti, ampak dohiteti. Postavljanje ciljev - dohitite. To nikoli ne bo dovolilo, da bi hitronogi Ahil prehitel ali prehitel želvo. V tem primeru niti fizika s svojimi zakoni niti matematika ne moreta pomagati Ahilu prehiteti to počasno bitje.
Zahvaljujoč temu srednjeveškemu filozofskemu paradoksu,ki ga je ustvaril Zeno, lahko sklepamo: cilj morate pravilno postaviti in iti k njemu. Če želite nekoga dohiteti, boste vedno ostali drugi, pa tudi takrat v najboljšem primeru. Če vemo, kakšen cilj si človek zastavi, lahko z gotovostjo rečemo, ali ga bo dosegel ali bo zapravil svoj čas, vire in energijo.
V resničnem življenju je veliko primerov napačnega postavljanja ciljev. In paradoks Ahila in želve bo aktualen, dokler obstaja človeštvo.
