Geometrijski predmet, pozneje imenovan "Kleinova steklenica", je leta 1882 prvič opisal nemški matematik Felix Klein. Kaj on predstavlja? Ta predmet (ali bolje rečeno geometrijska ali topološka površina) preprosto ne more obstajati v našem tridimenzionalnem svetu. Vsi modeli, ki so naprodaj v trgovinah s spominki, imajo videz, ki daje le nejasno predstavo o tem, kaj je Kleinova steklenica.
Za večjo jasnost je opisano takole: predstavljajte si steklenico z zelo dolgim vratom. Nato v njej miselno naredite dve luknji: eno v steni, drugo pa na dnu. Nato upognite vrat, ga vstavite v luknjo v steni in ga izvlecite skozi luknjo na dnu. Nastali predmet bo projekcija štiridimenzionalnega vesoljskega objekta, ki je prava Kleinova steklenica, v našem tridimenzionalnem prostoru.
Opis Kleinove steklenice v jeziku matematičnih izrazov ozformule laiku ne bodo povedale ničesar. Ali bo takšna definicija zadovoljila marsikoga: Kleinova steklenica je neorientabilen kolektor (ali površina), ki ima številne lastnosti. Za besedo "lastnosti" lahko sestavite dolgo serijo, sestavljeno iz trigonometričnih funkcij, številk ter grških in latinskih črk. Toda to lahko samo zmede nepripravljenega človeka, ki že ima predstavo o tem, kakšna je projekcija steklenice v tridimenzionalnem prostoru.
Zanimivost: ime "Kleinova steklenica" je dobil ta predmet najverjetneje zaradi napake ali tipografske napake prevajalca. Dejstvo je, da je Klein v svoji definiciji uporabil besedo Fläche, torej "površina" v nemščini. Med "potovanjem" iz Nemčije v druge države se je ta beseda preoblikovala v podobno črkovanje Flasche (steklenica). Nato se je izraz vrnil v državo izvora v novi, spremenjeni obliki in tako ostal za vedno.
Za številne kulturne osebnosti (predvsem pisce znanstvene fantastike) se je že sam izraz "Kleinova steklenica" izkazal za privlačnega. Njegova uporaba kot atribut, včasih pa tudi glavni lik, je postala znak "intelektualne" fikcije. Takšna je na primer zgodba "Zadnji iluzionist", ki jo je napisal Bruce Eliot. V zgodbi se čarovniški pomočnik razbije na svojega zavetnika, ki je delal trike s štiridimenzionalno Kleinovo steklenico. Iluzionist, ki je zlezel v steklenico, ostane vanjo napol potopljen. Po mnenju avtorja te steklenice ni mogoče razbiti, ne da bi poškodovali vsebino. Ali je res tako - ne morem rečinobene. Vsaj matematikov, ki bi morda lahko odgovorili na to vprašanje, to ni zmešalo, za znanost je to nepomembno.
Včasih se posebej izdelane Kleinove steklenice napolnijo z vinom za promocijske namene. Res je, da je takšno steklenico tehnično težko izdelati, za to je potreben pihalnik stekla ekstra razreda. Zato ima precej visoke stroške in se uporablja redko. In razvoj tehnologije in proizvodnja takšnih steklenic na potoku nista smiselna, saj bo za to treba izdelati način polnjenja steklenice s tekočino (tudi tukaj so težave). In občutek nenavadnosti in novosti bo hitro zamenjala neprijetnost točenja vina iz takšne steklenice v kozarce.
